Himpunan

Himpunan Bagian

a. Himpunan A dikatakan sebagai himpunan bagian dari himpunan B⇒"A⊂B" jika semua/setiap anggota himpunan A merupakan anggota himpunan B

b. Himpunan A dikatakan bukan himpunan bagian dari himpunan B⇒"A⊄B" jika terdapat satu atau lebih anggota himpunan A yang bukan merupakan anggota himpunan B

c. Setiap himpunan A merupakan himpunan bagian dari himpunan A itu sendiri ⇒"A⊂A"

d. Jika n(A) adalah banyaknya anggota himpunan A, maka banyaknya himpunan bagian yang mungkin dari himpunan A = 2^n(A)

Hubungan antara dua himpunan

a. Himpunan A dan himpunan B dikatakan saling lepas atau saling asing jika tidak ada anggota persekutuan antara himpunan A dan B

b. Himpunan A dan himpunan B dikatakan saling berpotongan (tidak saling lepas) jika A dan B mempunyai anggota persekutuan, dan terdapat anggota A yang bukan anggota B dan terdapat anggota B yang bukan anggota A

c. Himpunan A sama dengan himpunan B → "A = B" jika anggota A tepat sama dengan anggota B

d. Himpunan A ekuivalen dengan himpunan B jika banyaknya anggota A sama dengan banyaknya anggota B

Operasi himpunan

Irisan himpunan A dan himpunan B⇒"A∩B" adalah sebuah himpunan baru yang anggotanya adalah anggota A yang sekaligus menjadi anggota B

• Jika A⊂B maka A∩B = A
• Jika A = B maka A∩B = A atau A∩B = B

Gabungan himpunan A dan himpunan B ⇒ "A ∪ B" adalah sebuah himpunan baru yang anggotanya adalah semua anggota A dan semua anggota B yang bukan anggota A∩B

• A∪B = {x/x ∈ A atau x ∈ B}
• Jika A⊂B maka A∪B = B
• Jika A = B maka A∪B = A = B
• Jika n(A) adalah banyaknya anggota himpunan A, n(B) = banyaknya anggota himpunan B, dan n(A n B) = banyaknya anggota A irisan B, maka banyaknya anggota A gabungan B adalah :
n(A∪B) = n(A) + ∩(B) - ∩(A∩B)

Selisih (defference) himpunan A dan himpunan B⇒"A - B" atau "A\B" adalah himpunan baru yang anggotanya adalah anggota himpunan A yang bukan anggota himpunan B
• A - B ={ x/x∈A atau x∉B}
• B - A ={ x/x∈B atau x∉A}

Komplemen himpunan A adalah suatu himpunan baru yang anggota-anggotanya merupakan anggota himpunan Semesta (S) tetapi bukan anggota A.
A^c = A' = { x/x∈S dan ∉A}

Sifat-sifat operasi dua himpunan:

• Pada irisan dua himpunan:
A ∩ B = B ∩ A (komutatif)
A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C (Assosiatif)
A ∩ A = A A ∩ ∅ = ∅ A ∩ S = A (identitas)

• Pada gabungan dua himpunan:
A∪B = B∪C (komutatif)
A∪(B∪C) = (A∪B)∪C (Assosiatif)
A∪A = AA∪∅ = AA∪S = S (identitas)

• Distributif irisan terhadap gabungan
A∩(B∪C) = (A∩B)∪(A∩C)

• Distributif gabungan terhadap irisan:
A∪(B∩C) = (A∪B)∩(A∪C)

Sifat komplemen
A∪A^c = S, A∩A^c = ∅, A^c∩S = A^c, (A^c)^c = A

• Hukum De Morgan
(A∪B)c = Ac∩Bc
(A∩B)c = Ac∪Bc